قام مغني Isadore بدمج الرياضيات والفيزياء

17
الأعمدة الكمية

4 مارس 2021

يتأمل طالب دراسات عليا سابق كيف جمع إيزادور سينجر ، الذي توفي في 11 فبراير ، معًا علماء الرياضيات والفيزياء وأي شخص آخر مهتم بالصلات الأعمق بين المجالات المتنوعة.

Photo of Isadore Singer in a plaid sportscoat sitting in his mostly white office

 

Isadore Singer في مكتبه في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا في عام 2006.

فقد مجتمع الرياضيات تيتان مع مرور الشهر الأخير من مغني Isadore “Is”. ولد في ديترويت عام 1924 ، وكان صاحب رؤية ، وتجاوز الانقسامات بين مجالات الرياضيات وكذلك تلك بين الرياضيات والفيزياء الكمومية. تابع أسئلة عميقة وألهم الآخرين في بحثه الأصلي ، ومحاضراته الواسعة ، وتوجيه الباحثين الشباب ، والدعوة في المجال العام.

كانت المناقشات الرياضية مع Is لا تمزح. أراد الوصول إلى جوهر المسألة المطروحة ، لفهم وتقديم أفكار جديدة بطريقته الخاصة. كان يطرح الأسئلة باستمرار ويحث الآخرين على النظر بشكل أعمق وعلى نطاق أوسع. لم يكن يعرف حدودًا ، مما دفعه إلى إقامة روابط عميقة بين الحقول. قبل كل شيء ، كان يقدر حريته – حرية الاستكشاف ، وحرية الخطأ ، وحرية الإبداع. عالم رياضيات اجتماعي بطبيعته ، سعى إلى صداقات ورعاها مع متعاونين مثلهم. جاء إلى الرياضيات في وقت متأخر نسبيًا ، حيث تخصص في الفيزياء عندما كان طالبًا جامعيًا في جامعة ميشيغان قبل خروجه إلى الحرب عام 1944. ولدى عودته ، ذهب إلى كلية الدراسات العليا في الرياضيات بالجامعة من شيكاغو لفهم النسبية وميكانيكا الكم بشكل أفضل ، فقط ليكتشف أن الرياضيات كانت موطنه الفكري الحقيقي.

من أول محبته للرياضيات ، الهندسة التفاضلية ، يستخدم حساب التفاضل والتكامل لدراسة الأشكال الملساء ، التي تسمى متشعبات. (على النقيض من ذلك ، تستخدم الهندسة الجبرية الجبر – الجانب الرقمي من الرياضيات – لدراسة الأشكال المحددة بواسطة المعادلات متعددة الحدود.) الكميات المحلية ، مثل الانحناء ، هي منطقة مقياس التفاضل ، والأسئلة في الموضوع تؤدي بسرعة إلى المعادلات التفاضلية ، التي تحمل حلولها معنى هندسيًا. أسئلة عالمية – على سبيل المثال: كم عدد الثقوب ذات البعد المعين التي يمتلكها مشعب معين؟ – هي مجال الطبولوجيا ، والذي يستخدم مجموعة مختلفة من الأدوات. مجال التحليل ، نقطة محورية أخرى مبكرة لـ Is في الرياضيات ، يتضمن فضاءات وظيفية ودراسة المعادلات التفاضلية التي ترضي الوظائف الخاصة.

لكن هل ‘العالم لم يعترف بالمقاطعات. الهندسة التفاضلية المحلية والطوبولوجيا العالمية والتحليل هي جوانب مختلفة للهندسة. تفاعلهم هو المكان الذي توجد فيه المتعة الحقيقية ، ويقع في صميم إنجازه الأكثر شهرة: نظرية مؤشر عطية سنجر. تقريبًا ، تنتج هذه النتيجة عددًا من الحلول للمعادلات التفاضلية الخاصة على المساحات المنحنية من الناحية الطوبولوجية. أدى إلى تطورات فورية في الطوبولوجيا والهندسة والتحليل ؛ والمثير للدهشة أن لها تداعيات في فيزياء الكم أيضًا.

ابتداءً من عام 1950 ، أمضى معظم حياته المهنية في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، باستثناء بضع سنوات في أواخر السبعينيات وأوائل الثمانينيات في جامعة كاليفورنيا ، بيركلي. بعد وصوله إلى معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، أعاد Is وزميله في الغرب الأوسط وارين أمبروز تشكيل طريقة فهمنا وتعليمنا وإجراء البحوث في الهندسة التفاضلية. في منتصف الخمسينيات من القرن الماضي ، أمضت عامًا في معهد الدراسات المتقدمة في برينستون ، نيو جيرسي ، ثم كانت مركزًا للتطورات الجذرية في الطوبولوجيا والهندسة الجبرية. واجه آفاقًا جديدة والتقى بالمعاونين المستقبليين ، بما في ذلك مايكل عطية ، وهو روح عشيرة تكمل منازلها الرياضية في الهندسة الجبرية والطوبولوجيا تمامًا خبرة هي في الهندسة والتحليل التفاضلي. كان لدى مايكل أسلوب عمل متشابه في حرية الحركة ، أي شيء يسير ، وكان يبحث باستمرار عن معاني واتصالات أعمق. ولدت نظرية مؤشر عطية سنجر من هذه الغريزة ، وهي النتيجة المباشرة لسؤال نافذ طرحه مايكل عندما وصل الأخير في زيارة إجازة إلى جامعة أكسفورد في عام 1962: لماذا هو جنس A-Roof لمشعب الدوران عدد صحيح؟

”هو ثابت طوبولوجي للمشعبات وهو جزء من طوبولوجيا خمسينيات القرن الماضي ، وهو مضمون بداهة فقط ليكون عددًا منطقيًا – نسبة الأعداد الصحيحة. لكن الطوبولوجيين أثبتوا أنه في الواقع عدد صحيح لمشعبات ذات ميزة هندسية معينة: بنية الدوران. (تم إدخال Spinors ، وهي نوع من الجذر التربيعي للناقلات ، في الجبر وأيضًا في الفيزياء كجزء من نظرية الإلكترون لبول ديراك. يسمح هيكل الدوران الموجود على مشعب بوجود مثل هذه الجذور التربيعية.) على الرغم من أن مايكل و وقد أثبت مساعده فريتز هيرزبروخ التكامل كنتيجة لتطورهم

K – النظرية ، ابتكار مهم في الطوبولوجيا ، لا يزال مايكل يبحث عن رؤية لا توفرها البراهين. كان للرغبة في فهم أكثر عمقًا صدى عميقًا لدى Is ، الذي كان مدمنًا على الفور بالسؤال. يجب أن يحسب العدد الصحيح الموجب شيئًا ما ، وقد يكون العدد الصحيح الذي يمكن أن يكون سالبًا هو الفرق بين عددين موجبين ، كل منهما له قيمة. في نظرة عطية سنجر للعالم ، تعتبر الهندسة أمرًا بالغ الأهمية ، لذا فإن كل ما يتم حسابه يجب أن يكون هندسيًا.

وهنا جاء التمكن من الهندسة التفاضلية. يُفترض أنه مستوحى من هندسة ثوابت الأعداد الصحيحة الأخرى لتلك الفترة ، وبناءً على معرفته بنظرية ديراك ، ابتكر نسخة من معادلة ديراك في الهندسة التفاضلية – تتطلب بنية الدوران التي هي في صميم سؤال مايكل – وهو تخمن أن جنس A-roof يقيس وجود وتفرد الحلول لتلك المعادلة. كان هذا هو الرد على السؤال. رأى مايكل على الفور كيفية دمجه في K – النظرية التي طورها هو وفريتز ، وسرعان ما حصل على بيان نظرية الفهرس العام في متناول اليد. الإثبات الأول الذي يتضمن جرعة كبيرة من التحليل تم إجراؤه خلال العام. البيان والإثبات والتطبيقات المباشرة التي انبثقت منها جمعت بين التخصصات الفرعية الرياضية التي غالبًا ما كانت موجودة في الروح السائدة اليوم في مدارات غير تفاعلية. نمت دائرة الأفكار الرياضية حول نظرية عطية سنجر في السنوات التالية. عندما توسع النطاق أكثر في منتصف السبعينيات ، لعب دورًا مركزيًا مرة أخرى. كان الدافع هذه المرة هو معادلة ثنائية الذات ، وهي معادلة تفاضلية غير خطية تنشأ في نظرية المجال الكمومي. كان معتادًا جدًا على ما يسمى بقاموس Wu-Yang ، والذي ربط نظرية القياس في الفيزياء بالهياكل في الهندسة التفاضلية التي تعلمها من Shiing-Shen Chern ، أحد أساتذته في جامعة شيكاغو قبل ربع قرن. نما القاموس من الحوارات في جامعة ستوني بروك مع جيم سيمونز ، الذي كان قد أشرف عليه قبل سنوات في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. (ذهب سايمونز لتأسيس مؤسسة Simons ، التي تمول أيضًا هذا المنشور التحريري المستقل.) ورأى دورًا للهندسة في إلقاء الضوء على ما اكتشفه الفيزيائيون ، وفي رحلة إلى أكسفورد في عام 1977 طرح السؤال ، موضحًا المشكلة في سلسلة محاضرات. ألهمت تلك المحاضرات وما شابهها في أماكن أخرى موجة من النشاط. بشكل ملحوظ ، أدت اللاخطية للمعادلة إلى شبكة جديدة رائعة من الرياضيات حيث تتشابك الهندسة الجبرية والطوبولوجيا والهندسة التفاضلية والتحليل بشكل جميل ، الآن مع الفيزياء في المزيج أيضًا.

ذهب أبعد من ذلك. لقد أدرك في وقت مبكر ، في وقت لم يكن فيه هذا واضحًا بأي حال من الأحوال ، أن “الكم” في نظرية المجال الكمومي هو شيء نحتاج إلى التعامل معه بشكل مباشر ودمجه في رياضياتنا. من الصعب التعبير عن مدى الرؤية التي كانت عليها في ذلك الوقت. قاد الطريق بالتصارع مع الفيزياء وتقديمها وفقًا لشروطه الخاصة في دورات حول نظرية المجال الكمي والتناظر الفائق ونظرية الأوتار في كل من بيركلي ومعهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. غالبًا ما تضمنت ندوته الدراسية يوم الثلاثاء في بيركلي علماء فيزيائيين يشرحون أحدث النتائج ، تليها عشاء صيني استمر فيه تعليمنا المجتمعي في الفيزياء. هو ‘موقع في مجتمع الرياضيات وقوة أفكاره جلبت المزيد والمزيد من علماء الرياضيات على متن الطائرة. نتيجة لقيادته ، بحلول منتصف الثمانينيات كان هناك تفاعل قوي بين منظري المجال الكمومي والمقاييس الهندسية. كما هو متوقع ، نمت العلاقة وتعمقت. ولا تزال تؤتي ثمارها لكلا الحقلين.

هي ‘الريادة في الرياضيات والعلوم امتدت إلى السياسة والمجتمع ، حيث شارك على مستوى عالٍ. لذكر إنجاز واحد فقط ، في أوائل الثمانينيات ، تعاونت مع تشيرن وكال مور لتأسيس مركز جديد لأبحاث الرياضيات ، معهد أبحاث العلوم الرياضية. حقيقة أن المعاهد البحثية في جميع أنحاء العالم تحاكي هذا النموذج الآن هي تكريم لرؤية المؤسسين.

وبالطبع يتمتع أيضًا بالعديد من جوانب الحياة خارج الرياضيات والفيزياء. كان إخلاصه لعائلته ، ولهم له ، أمرًا بالغ الأهمية. علمه أمبروز أن يحب موسيقى الجاز ، وهي شغف آخر مدى الحياة. وكان هناك دائمًا التنس – يتم لعبه بقوة وحماس في التسعينيات من عمره ، ويعمل باستمرار على لعبته.

في الواقع ، استحضار مدربه وصديقه المقرب منذ فترة طويلة جيف بيروب صورة هل تجسد تمامًا التأثير الذي تركه على الناس. كان يصل إلى نادي التنس الخاص به – أو كان من الممكن أن يكون قسمًا للرياضيات أو الفيزياء أو مؤتمرًا – وكان الجميع يلتفتون ويبتسمون ويصرخون بإعجاب واحترام: “هل!”

)